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Libres Savoirs >> Mathématiques
Responsable :

Elie Raphaël
  

Equipe Pédagogique :
Etienne Reyssat
Emmanuel Bossy
Romain Pierrat

Centre de Recherche

Niveau : 1re année

Langue du cours : Français

Période : tronc commun

Nombre d'heures : 42

Crédits ECTS : 3
MAT1 Méthodes Mathématiques I
Ressources Pédagogiques :
Cours : 24 h - Travaux dirigés : 12 h - Préceptorats : 6 h

Objectifs

L'objectif du cours Méthodes Mathématiques est de présenter un certain nombre de méthodes mathématiques nécessaires à une bonne formation en physique et en chimie. Il ne s'agit pas de "recettes" à appliquer aveuglément, mais d'outils mathématiques dont il importe de bien maîtriser le maniement.
La première partie du cours est consacrée à la théorie des fonctions holomorphes. L'approche de Cauchy - qui repose sur la notion d'intégrale le long d'un chemin dans le plan complexe - est très féconde et conduit en particulier à la méthode des résidus et à ses diverses applications.
La deuxième partie du cours présente tout d'abord les rudiments de la théorie de l'intégration de Lebesgue, puis expose en détail les notions importantes de produit de convolution, de transformation de Fourier et de transformation de Laplace.
La dernière partie du cours est consacrée à la théorie des distributions conçue par Laurent Schwartz vers 1944. Cette théorie est devenue un outil essentiel dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique (citons, à titre d'exemple, la théorie des équations aux dérivées partielles étudiée dans le cours de deuxième année).

Contenu


  1. Fonctions holomorphes

    • Dérivée d'une fonction d'une variable complexe
    • Définition et propriétés
    • Intégration dans le plan complexe
    • Théorème des résidus et applications

  2. Complément sur l'intégration et transformations intégrales

    • Complément sur l'intégration et transformations intégrales
    • Notion de mesure et intégration de Lebesgue
    • Produit de convolution
    • Transformation de Fourier
    • Transformation de Laplace

  3. Distributions

    • Définitions et propriétés générales
    • Dérivation
    • Produit de convolution
    • Transformation de Fourier

Préceptorat


  • Équations différentielles ordinaires
  • Fonctions analytiques
  • Fonctions analytiques
  • Transformées de Fourier et de Laplace
  • Distributions


Niveau requis : Les notions suivantes (liste non exhaustive) doivent être connues dans le cadre du cours et des examens de Méthodes Mathématiques à l’ESPCI. Toutes ces notions font parties du programme des classes préparatoires PC, et sont rappelés en particulier pour les élèves admis à l’ESPCI par les filières parallèles. Les chapitres indiqués dans la liste ci-dessous correspondent à l’ouvrage Aide-mémoire de Mathématiques (EdiSciences, G. Auliac, J. Avignat et E. Azoulay), disponible en plusieurs exemplaires à la bibliothèque de l’ESPCI.
  • Manipulation et représentation des nombres complexes. (chap. 6)
  • Polynômes et fractions rationnelles. (chap. 7 et 8)
  • Etude de fonctions: limite, continuité, dérivabilité, développements limités, tracés de graphes, fonctions usuelles (ln, exp, cos, sin, etc.), intégration. (chap. 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 43)
  • Séries: suites et séries numériques (chap. 17 et 28), suites et séries de fonctions (chap. 37 et 38), séries entières (chap. 39), séries de Fourier (chap. 40).
  • Equations différentielles d’ordre 1, équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2. (chap. 41 et 42)
D’autres outils mathématiques ne seront pas ou peu utilisés dans le cours de Méthodes Mathématiques, mais sont des pré-requis fondamentaux pour de nombreux sujets du cursus de l’Ecole (électromagnétisme, physique quantique, propagation d'ondes, etc.) :
  • Matrices, déterminants, diagonalisation, formes hermitiennes, espaces hermitiens. (chap. 11, 12, 13, 14, 15).
  • Intégrales doubles, triples (chap. 34, 35).
  • Opérations sur les champs scalaires et vectoriels (gradients, divergence, rotationnel, etc.) (chap. 36)
Des séances de soutiens pour les élèves admis à l’ESPCI par les filières parallèles sont organisées en début d’année, et aborderons en particuliers les thèmes suivants: séries, polynômes et fractions rationnelles, opérations sur les champs.

Modalités d'évaluation : Examen écrit (3 heures) : partie A, exercices courts (8 points) ; partie B, problème (12 points).

Dernière mise à jour : vendredi 28 avril 2017

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